La leyenda urbana dice que es imposible doblar una hoja de papel por la mitad más de ocho veces. En realidad, el récord mundial lo tiene Britney Gallivan, con 12 pliegues. Lo fascinante es que, según las matemáticas, si doblamos un papel por la mitad 103 veces, su grosor sería mayor que el diámetro del Universo observable, estimado en 93.000 millones de años luz.
La explicación a esta deliciosa paradoja está en el crecimiento exponencial. Una hoja de papel normal (el típico formato a4 con un gramaje de 80 gm /m2) tiene un grosor de 0,1 milímetros. Si la doblamos exactamente por la mitad, tendremos el doble de ese grosor.
A medida que la sigamos doblando una y otra vez por la mitad las cosas se ponen interesantes (e imposibles). Doblada siete veces, la hoja tiene un grosor equivalente a un cuaderno. Si la pudiéramos doblar 23 veces, su grosor ya superaría el kilómetro. 30 pliegues nos llevarían al espacio, sobrepasando la barrera de los 100 kilómetros. En 42 pliegues llegaríamos a la luna, y en 52 al sol.
El grosor del papel sigue aumentando exponencialmente. En 81 pliegues, su grosor sería casi el de la galaxia de Andrómeda, con 127 años luz. Solo 9 pliegues más llevarían a nuestro papel imaginario más allá de los confines del Supercluster de Virgo en el que nuestra galaxia convive con al menos otras cien.
Llegamos al papel doblado 103 veces. Su grosor sería superior a 93.000 millones de años luz. Si alguien cree que puede batir el récord de Britney Gallivan, puede comenzar a practicar. Raju Varghese ofrece el experimento explicado aquí con una tabla de incrementos exponenciales del papel más detallada.
Crecimiento exponencial
Tome una hoja de papel de la variedad ordinaria - tamaño carta para los americanos, A4 para el resto del mundo - y doblar por la mitad. Doblar una segunda vez, y una tercera vez. Es casi tan grueso como la uña del dedo. Seguir doblando si es posible. A los 7 pliegues es tan grueso como un bloc de notas. Si hubiera sido capaz de doblarla 10 veces, sería tan grueso como el ancho de su mano. Por desgracia, no es posible hacerlo más de aproximadamente 12 veces . Pruébelo usted mismo. A los diecisiete pliegues sería más alto que su casa promedio. Tres pliegues más y que la hoja de papel es un cuarto camino hasta la torre Sears. Diez pliegues más y que ha cruzado el límite exterior de la atmósfera. Otros veinte y que ha alcanzado el Sol de la Tierra. A los sesenta pliegues que tiene el diámetro del sistema solar. En 100 pliegues que tiene el radio del universo. "Absurdo!", Exclamáis. Eso es lo que pensé hasta que empecé el cálculo del espesor a mí mismo. Si no desea sacar su calculadora de confianza aquí es una tabla que contiene lo que he descrito anteriormente.
norte
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2 ** n
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km (0,1 * 10 ** - 6 * 2 ** n)
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Comentario
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0
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1
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0,1 x 10 ** - 6
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1
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2
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0,2 x 10 ** - 6
| |
2
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4
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0,4 x 10 ** - 6
| |
3
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8
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0,8 x 10 ** - 6
|
dedo de grosor de la uña
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4
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dieciséis
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1,6 x 10 ** - 6
| |
5
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32
|
3,2 x 10 ** - 6
| |
6
|
64
|
6,4 x 10 ** - 6
| |
7
|
128
|
12,8 x 10 ** - 6
|
espesor de un cuaderno
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8
|
256
|
25,6 x 10 ** - 6
| |
9
|
512
|
51,2 x 10 ** - 6
| |
10
|
1024
|
0,1 x 10 ** - 3
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la anchura de una mano (incl. el pulgar)
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11
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2048
|
0,2 x 10 ** - 3
| |
12
|
4096
|
0,4 x 10 ** - 3
|
altura de 0,4 m de un taburete
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13
|
8192
|
0,8 x 10 ** - 3
| |
14
|
16384
|
1,6 x 10 ** - 3
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1,6 m: altura de una persona promedio (sí, un tipo corto)
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15
|
32768
|
3,3 x 10 ** - 3
| |
dieciséis
|
65536
|
6,6 x 10 ** - 3
| |
17
|
131072
|
13,1 x 10 ** - 3
|
altura de 13 m de una casa de dos pisos
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18
|
262144
|
26,2 x 10 ** - 3
| |
19
|
524288
|
52,4 x 10 ** - 3
| |
20
|
1048576
|
104,9 x 10 ** - 3
|
la cuarta parte de la torre Sears (440m)
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...
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....
|
....
|
....
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25
|
33554432
|
3,4 x 10 ** 0
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más allá de la Matterhorn
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30
|
1073741824
|
107,4 x 10 ** 0
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límites exteriores de la atmósfera
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35
|
34359738368
|
3,4 x 10 ** 3
| |
40
|
1099511627776
|
109,9 x 10 ** 3
| |
45
|
35184372088832
|
3,5 x 10 ** 6
| |
50
|
1125899906842624
|
112,5 x 10 ** 6
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~ Distancia al Sol (95 millones de millas)
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55
|
36028797018963968
|
3,6 x 10 ** 9
| |
60
|
1152921504606846976
|
115,3 x 10 ** 9
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tamaño del sistema solar?
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sesenta y cinco
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36893488147419103232
|
3,7 x 10 ** 12
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un tercio de un año luz
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70
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1180591620717411303424
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118,1 x 10 ** 12
|
11 años luz
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75
|
37778931862957161709568
|
3,8 x 10 ** 15
|
377 años luz
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80
|
1208925819614629174706176
|
120,9 x 10 ** 15
|
12.000 años luz
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85
|
38685626227668133590597632
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3,9 x 10 ** 18
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4 x el diámetro de nuestra galaxia
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90
|
1237940039285380274899124224
|
123,8 x 10 ** 18
|
12 millones de años luz
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95
|
39614081257132168796771975168
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4,0 x 10 ** 21
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100
|
1267650600228229401496703205376
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126,8 x 10 ** 21
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(12 mil millones de años luz) aprox. radio del universo conocido?
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Nota:
Una hoja de papel es de unos 0,1 mm de espesor. Yo uso la variedad común 80gm / m2.
He representado el operador de exponenciación con **.
La idea de este artículo y, de hecho, la analogía de plegado de papel proviene de un problema del Economista . De acuerdo con Ozgur Ince fue en la edición del 15 de julio de 1995 y se titula El extremo de la línea . No puedo vincular a dicho artículo como el archivo en línea en la revista The Economist sólo se remonta a 1997.
Si alguien detecta un error de hecho en la mesa, por favor, póngase en contacto conmigo con la corrección. Es posible que yo tengo algunos números equivocado al escribir esto en.
Esta tabla debe convencer a nadie sobre la rapidez de crecimiento exponencial. Sí, el ejemplo que he tomado hace doble a cada paso; el crecimiento normal es de sólo unos pocos puntos porcentuales, pero la idea básica es la misma.
fideos hechos a mano
El siguiente es un extracto del libro de Philip y Phylis Morrison "El sonido de la verdad" (Vintage Books ISBN 0-679-72130-4).
Un avance interesante en esa dirección - para estar seguro, sin átomos en absoluto en mente larga se ha practicado en el gran arte del cocinero profesional de China. Nos dejó en un divisor de tales virtuoso de la materia.
Chef Mark amasa la harina blanca-alto contenido de gluten cuidadosamente junto con los otros ingredientes de la masa de fideos en proporciones correctas: tres tazas de harina, la mitad de agua, un cuarto de cucharadita de cada una de sal y bicarbonato de sodio. Se volvió y se estiró con fuerza el trozo de masa en una sola cadena pesada de la longitud de su plena lapso de dos brazos. Luego dobló esa larga cadena de espesor por la mitad, y tiró de la masa de nuevo en su longitud original, por lo que dos hebras más delgadas ahora pasan de una mano a la otra. Repetir, repetir, repetir ...
Chef Marcos : "Hola a todos soy el chef de la Casa del Dragón en Wildwood, Nueva Jersey Hoy voy a hacer el tipo de fideos llamados.. Por lo Hacer la masa fuerte y suave, mantener la masa suave y fuerte, y se quiere. tienen los fideos en la mesa ".
Doblar un tiempo: la masa se convierte en dos tipos de fideos. Dos veces, y se convierte en cuatro fideos. Tres, cuatro veces ... diez, once, doce ahora duplicaciones, o cuatro mil noventa y seis fideos.
¡Guauu! Casi cinco pies de largo, se les llama fideos barba de dragón -muy bien, al igual que un cabello humano. En dos minutos, el chef Mark había sacado cuatro millas de fideos finos. (Eran en realidad dos o tres veces más grueso que el cabello humano.) Cocineros legendarios del pasado han ido a trece duplicaciones, mientras que experimentados fabricantes de casa de fideos pueden completar ocho o diez. Pero tenga en cuenta que si chef Mark había continuado la duplicación, sólo haría falta treinta y cinco años más pasos de doblar, seis minutos de trabajo, antes de que hubiera llegado a lo que conocemos como el tamaño atómico. Por supuesto, el procedimiento en sí fallaría mucho antes de que se llegue a ese límite atómica idealizada.
La naturaleza tentadora del proceso de duplicación es que la subdivisión es tan rápida. Algunos cuarenta y seis doblajes harían los fideos de la verdadera finura atómica, en principio. Pero tenga en cuenta que una hazaña increíble produciría no un mero pocas millas de la barba de dragón, pero los fideos tiempo suficiente para estirar a Plutón y más allá!
La duplicación de los granos de arroz
La siguiente historia que oí de niño mientras crecía en la India. No sé la fuente original de la leyenda, ni si se reproduce aquí como lo oí a continuación. Así consumirá, con una pizca de sal apropiada.
Había una vez, hace mucho tiempo había un rey que gobernaba una tierra próspera. La pobreza era desconocido allí y cada persona tenía un empleo remunerado.De ahí que la visión de un mendigo de hacer su camino a lo largo de la calle principal causó un gran revuelo en la capital de la tierra. El rey exigió ver a este hombre extraño. Cuando nos trajeron a él el mendigo reveló que de hecho no tenía ninguna posesión ni nada de dinero para la compra de alimentos. El rey ofreció generosamente todo lo que pueda comer las comidas para el resto de la semana y la ropa limpia para que el mendigo pudiera continuar su viaje hasta la siguiente tierra. Sorprendentemente, el mendigo declinó la oferta real y pidió un favor modesta. El rey quiso saber cuál era el deseo. El mendigo pidió humildemente un grano de arroz para el primer día, dos en el segundo, cuatro en el tercer día y así sucesivamente - duplicar la contribución días anteriores.
El rey miró a través de la ventana en los graneros desbordantes y casi lo aceptó cuando su gran visir, recordando algo que había aprendido en los Elementos de los Números (201 Matemáticas en la Universidad local) aconsejó a su alteza que debe reconsiderar. Para el cálculo de la implicación del deseo sacó un ábaco polvorienta para realizar cálculos exponenciales. Tanteó con él durante un tiempo, pero no podía expresar la magnitud de los números involucrados, porque se le acabaron las perlas. El rey impacientarse con su visir en un simple deseo como de un hombre pobre, concedió oficialmente el mendigo el deseo. Poco sabía que había sonado el toque de difuntos de su reinado.
Al día siguiente, el mendigo vino a reclamar su grano de arroz. La gente del pueblo se rió de la mendiga y dijo que debería haber tenido amable ofrecimiento del rey para una comida completa en lugar del grano de arroz despreciable. En el segundo día estaba de vuelta para los dos granos. Una semana más tarde, él trajo una cucharilla de los 128 granos que se le debía. En dos semanas era una cantidad no despreciable de medio kilo. Al final del mes que había llegado a la friolera de 35 toneladas. Unos días más tarde el rey tuvo que declararse en quiebra. Ese es el tiempo que se necesitaba para derribar el reino.