Esta tablilla de arcilla de alrededor de 1800-1600 a. C. muestra que los antiguos babilonios pudieron aproximar la raíz cuadrada de dos con una precisión del 99,9999 %.
¿Cómo lo hicieron?
Decodificación de signos
Primero, descifremos la etiqueta en sí. Está etiquetado como YBC 7289 (abreviatura de "7289 item from the Yale Babylonian Collection"). La tableta muestra un cuadrado, su diagonal y los números están escritos al lado. Aquí hay una versión estilizada de Episodios de la historia temprana de las matemáticas de Asger Oboe.
Como se desprende del teorema de Pitágoras, la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario es √2. ¡Echemos un vistazo a los símbolos!
La tableta contiene números escritos en forma de números cuneiformes babilónicos. Significan 1, 24, 51 y 10.
Dado que los babilonios usaban la base 60 (también llamada sexagesimal ), el número 1.245110 en decimal significa 1.41421296296 .
¡Esto coincide con √2 hasta el sexto lugar decimal, que es 99.9999% exacto!
La precisión de los cálculos es asombrosa. Intenta recrearlo sin calculadora, en papel, ¡no es tan fácil!
Y te contamos cómo lo hicieron.
Algoritmo de raíz cuadrada de Babilonia
Ahora voy a pretender ser un mago: primero mostraré el algoritmo y luego correré la cortina y lo explicaré.
Empezamos eligiendo un número x₀ entre 1 y √2. Sé que parece aleatorio, pero no nos apresuremos. Por ejemplo, este número podría ser 1,2, que sería nuestra primera aproximación.
Basado en esto, 2/x₀ es mayor que √2.
Por lo tanto, el intervalo [x₀, 2/x₀] incluye √2.
De esto se deduce que el punto medio del intervalo [x₀, 2/x₀] es una aproximación más precisa del valor √2. Como puede ver en la imagen a continuación, ¡es significativamente mejor!
Determinemos x₁ a partir de esto.
Ampliando este tema, podemos definir una secuencia de aproximación tomando los puntos medios de dichos intervalos.
Estos son los primeros términos de la sucesión. Incluso el tercer término ya es una aproximación sorprendentemente buena.
Si trazamos estos números en un diagrama de dispersión, después de unos pocos pasos prácticamente necesitaremos un microscopio para ver las diferencias de √2.
Como puede ver, esto converge a √2 extremadamente rápido.
¿Pero qué tan rápido?
Error de aproximación babilónico
El error entre esta aproximación y el valor de √2 se define simplemente como la distancia entre ellos, medida por el valor absoluto de su diferencia. Por ejemplo, el error de nuestra primera suposición, e₀, viene dado por:
Por pequeño o grande que sea e₀, podemos usarlo para estimar los errores subsiguientes.
¡Hagamos algo de álgebra y veamos cómo se relaciona e₀ con e₁! Primero expresemos e₁ como una fracción.
Entonces, dado que hemos elegido que x₀ sea mayor que uno, podemos expresarlo en términos de e₁. Dado que el numerador e₀ está elevado al cuadrado, nuestra tarea es sencilla.
Repitiendo este razonamiento, obtenemos que la convergencia es muy rápida, ¡incluso más rápida que la exponencial!
¿Tuvieron suerte los babilonios o dieron en el clavo?
En realidad, el segundo. ¡Es hora de levantar el telón!
Método de Newton-Raphson
Reformulemos el problema de aproximar la raíz cuadrada de dos. En lugar de calcular la función f(x) = √x en un punto dado, intentemos encontrar la raíz (positiva) f(x) = x² - 2 . (Que resulta que también es √2.)
¿Existe un método generalizado para resolver ese problema? Sí, este es el método de Newton-Raphson. Para mostrar cómo funciona, aproximemos la raíz f(x) .
Grafique f(x) = x² - 2
¿Cómo podemos pasar de nuestra suposición inicial x₀ a la raíz?
Por ejemplo, puede seguir la dirección de una tangente y ver dónde se cruza con el eje x . Dado que el ángulo de la tangente está determinado por la derivada, esta intersección se puede calcular de inmediato. Te mostraré cómo.
La ecuación tangente se da de la siguiente manera.
Igualándolo a cero y resolviendo, obtenemos el punto donde la tangente interseca al eje x .
Entonces, al elegir la siguiente suposición x₁ como este punto de intersección, obtenemos (con suerte) una aproximación más precisa.
¡Eso es todo! Basándonos en esta idea, podemos definir una sucesión recursiva.
Esto se llama el método de Newton-Raphson. Aquí está el siguiente paso. Como puedes ver, el tercer paso es casi √2.
Queda una pregunta importante: ¿los babilonios usaron este método? Sí, y he aquí por qué.
Método de Newton-Raphson y algoritmo de Babilonia
En el ejemplo anterior, decidimos encontrar la raíz f(x) = x² - 2 . Encontremos una fórmula explícita para la secuencia recursiva dada por el método de Newton-Raphson. Su derivada es fácil de calcular, así que estamos listos.
Con un poco de álgebra, podemos llegar a una conclusión no tan sorprendente.
Por lo tanto, el algoritmo de Babilonia es un caso especial del método de Newton-Raphson.
Recordemos que la convergencia en este caso particular es extremadamente rápida. ¿Es esto cierto en general? Si tenemos suerte.
tasa de convergencia
Sin entrar en detalles, la convergencia y su velocidad dependen del comportamiento local de la función.
Por ejemplo, si f(x) es dos veces derivable, entonces el término de error para el n -ésimo elemento puede describirse mediante los términos de las derivadas y el cuadrado del (n-1) -ésimo error.
(Si está interesado en los detalles, la prueba está en Wikipedia).
En particular, si las derivadas se "comportan bien" (es decir, la primera derivada está separada de cero y la segunda derivada está acotada), entonces la tasa de convergencia es cuadrática.
Si una función "se comporta bien",
la convergencia cuadrática es cierta no solo para encontrar la raíz cuadrada de dos aproximando la raíz positiva f(x) = x² - 2 , sino también para una amplia gama de funciones.
Defectos
Desafortunadamente, no todo es tan perfecto. El método de Newton-Raphson puede dar serios fallos en casos bastante comunes, y además tiene muchas desventajas.
Por ejemplo, si la función cerca de la raíz es "plana", la convergencia será terriblemente lenta. Uno de estos casos se muestra a continuación.
Esto sucede cuando la raíz tiene una gran ambigüedad aumentada, es decir, las derivadas también son iguales a cero. Hablando de derivadas, a diferencia del caso de la raíz cuadrada babilónica, pueden ser difíciles de calcular, lo que hace que este método sea inaplicable.
Además, todo el proceso depende en gran medida de la suposición inicial: la iteración puede converger a la raíz incorrecta o incluso divergir.
Conclusión
Que los antiguos babilonios fueran capaces de calcular √2 hasta el sexto lugar decimal es bastante sorprendente. Esta precisión es muy respetada, sobre todo teniendo en cuenta que se logró hace casi cuatro mil años y los cálculos se realizaron a mano.
Al final resultó que, no solo tuvieron suerte; descubrieron un caso especial de un poderoso método capaz de aproximar la raíz de una amplia gama de funciones. Se conoció como el método de Newton-Raphson.
El principio es simple:
Asumimos el valor inicial de x₀
Reemplace temporalmente la función con una tangente en x₀
Determine dónde la tangente cruza el eje x
Usamos esta intersección x₁ como el nuevo punto de partida del proceso.
Si la función se comporta lo suficientemente bien (es decir, su derivada está separada localmente de cero y la segunda derivada está acotada), entonces la convergencia ocurre extremadamente rápido: es por eso que los babilonios pudieron lograr "la mayor precisión computacional en el mundo antiguo". "